Закон кулона, конденсатор, сила тока, закон ома, закон джоуля

Информация о напряжении

Напряжение — работа электрического тока, при которой происходит перемещение заряда из одной точки в другую. Оно имеет векторное направление. Электрическим током является движение заряженных элементарных частиц под воздействие электромагнитного поля.

Некоторые начинающие физики не знают, в чем измеряется напряжение

Знать это очень важно, поскольку элементы электрической цепи можно рассчитать неверно. Единицей измерения тока является ампер (А), а напряжения — вольт (В). В последнем случае применяется вольтметр — прибор, измеряющий величину напряжения или разности потенциалов

Он подключается параллельно в систему. Например, нужно измерить его значение на лампочке накаливания. Для этого необходимо подключиться параллельно к ней, а не последовательно

В последнем случае применяется вольтметр — прибор, измеряющий величину напряжения или разности потенциалов. Он подключается параллельно в систему. Например, нужно измерить его значение на лампочке накаливания. Для этого необходимо подключиться параллельно к ней, а не последовательно.

Физический смысл

Под физическим смыслом напряжения или разности потенциалов понимают работу, необходимую для перемещения точечного заряда в 1 Кл из одного места в другое. В этом случае переносится только положительный потенциал. При этом возникает электродвижущая сила (ЭДС), которая называется напряжением или разностью потенциалов.

Для понимания физического смысла следует рассмотреть более простой пример. Пусть существует некоторая система, состоящая из насоса, труб и крана. Насос — напряженность электрического поля, трубы — провода, а кран — сопротивление системы. При включении первого происходит закачивание воды. Если немного приоткрыть кран, то она польется маленькой струйкой. При открытии его полностью жидкость будет уходить более интенсивно.

Формулы для вычислений

Все формулы для расчетов построены на законах Ома. Их всего два: для участка и для всей цепи. Формулировка первого: ток, протекающий на искомом участке, прямо пропорционален U и обратно пропорционален R. Его математическая запись имеет такой вид: I=U/R. Из последнего получаются такие соотношения:

1. U=IR.
2. R=U/I.
3. P=IU=(I2 )R=(U2 )/R, где Р — мощность.

Для полной цепи закон формулируется иначе: ток I прямо пропорционален ЭДС (E) и обратно пропорционален алгебраической сумме внешнего R и внутреннего r сопротивлений. Следует отметить, что r — проводимость источника питания. Записывается он в таком виде: I=E/(R+r). Физики вывели следующие соотношения, помогающие при расчетах:

1. Е=I (R+r).
2. R=(E/I)-r.
3. r=(E/I)-R.
4. Р=ЕI=(E2 )/(R+r)=(R+r)I2.

Тождества для переменного тока

Напряжение при переменном токе классифицируется на определенные виды. К ним относятся следующие:

1. Мгновенное или действующее — параметр, который измеряют приборы (Um).
2. Амплитудное — величина, характеризующее максимальную величину в определенный момент времени. Расчитывается по формуле с учетом угловой частоты (w), времени (t) и угла между фазами (f), который измеряется осциллографом: u (t)=Uмsin (wt+f).
3. Среднеквадратичное (Uq) — величина, вычисляемая по формуле: Uq=0,7073Uм).

Для расчета следует иметь знания об индуктивной Xl, емкостной Xc и резистивной R нагрузках. Первая — проводимость всех элементов, содержащих индуктивность (катушки, трансформаторы, электродвигатели). Во втором случае учитываются все емкостные радиодетали (варисторы и конденсаторы). Резистивная нагрузка включает все значения резисторов.

Полный импеданс цепи (Z) равен сумме всех элементов, содержащий активную, индуктивную и емкостную. Специалисты рекомендуют использовать такие формулы, необходимые для расчетов:

1. Xl=wL.
2. Хс=1/wC.
3. Z=R+Xc+Xl.
4. I=Uм/Z.
5. Uм=IZ.
6. Z=Uм/I.

Четвертая формула является законом Ома для участка цепи, которую следует применять при переменных токах.

Таким образом, при помощи формулы напряжения можно рассчитывать не только основные параметры электричества для постоянного и переменного токов, но и его допустимые величины для человека.

Направление силы Кулона и векторный вид формулы

Для полного понимания формулы закон Кулона можно изобразить наглядно:

F_1,2 — сила взаимодействия первого заряда по отношению ко второму.

F_2,1 — сила взаимодействия второго заряда по отношению к первому.

Также при решении задач электростатики необходимо учитывать важное правило: одноимённые электрические заряды отталкиваются, а разноимённые притягиваются. От этого зависит расположение сил взаимодействия на рисунке

Если рассматриваются разноимённые заряды, то силы их взаимодействия будут направлены навстречу друг другу, изображая их притягивание.

Формула основного закона электростатики в векторном виде можно представить следующим образом:

— сила, действующая на точечный заряд q1, со стороны заряда q2,

— радиус-вектор, соединяющий заряд q2 с зарядом q1,

Тепловое действие тока

Электрический ток, проходя через любой проводник, сообщает ему некоторое количество энергии. В результате этого проводник нагревается. Передача энергии происходит на молекулярном уровне, т. е., электроны взаимодействуют с атомами или ионами проводника и отдают часть своей энергии.В результате этого, ионы и атомы проводника начинают двигаться быстрей, соответственно можно сказать, что внутренняя энергия увеличивается и переходит в тепловую энергию.Данное явление подтверждается различными опытами, которые говорят о том, что вся работа, которую совершает ток, переходит во внутреннюю энергию проводника, она в свою очередь увеличивается. После этого уже проводник начинает отдавать её окружающим телам в виде тепла. Здесь уже в дело вступает процесс теплопередачи, но сам проводник нагревается. Этот процесс рассчитывается по формуле: А=U·I·tА – это работа тока, которую он совершает, протекая через проводник. Можно также высчитать количество теплоты, выделяемое при этом, ведь это значение равно работе тока. Правда, это касается, лишь неподвижных металлических проводников, однако, такие проводники встречаются чаще всего. Таким образом, количество теплоты, также будет высчитываться по той же форме: Q=U·I·t.История открытия явленияВ своё время свойства проводника, через который протекает электрический тока, изучали многие учёные. Особенно среди них были заметны англичанин Джеймс Джоуль и русский учёный Эмилий Христианович Ленц. Каждый из них проводил свои собственные опыты, а вывод они смогли сделать независимо друг от друга. На основе своих исследований, они смогли вывести закон, который позволяет дать количественную оценку выделяемого тепла в результате воздействия электрического тока на проводник. Данный закон получил название «Закон Джоуля-Ленца». Джеймс Джоуль установил его в 1842 году, а примерно через год Эмиль Ленц пришёл к тому же выводу, при этом их исследования и проводимые опыты никак не были связаны друг с другом.Применение свойств теплового действия токаИсследования теплового воздействия тока и открытия закона Джоуля-Ленца позволили сделать вывод, подтолкнувший развитие электротехники и расширить возможности применения электричества. Простейшим примером применения данных свойства является простая лампочка накаливания. Устройство её заключается в том, что в ней применяется обычная нить накаливания, сделанная из вольфрамовой проволоки. Этот металл был выбран не случайно: тугоплавкий, он имеет довольно высокое удельное сопротивление. Электрический ток проходит через эту проволоку и нагревает её, т. е. передаёт ей свою энергию. Энергия проводника начинает переходить в тепловую энергию, а спираль разогревается до такой температуры, что начинает светиться. Главным недостатком такой конструкции, конечно, является то, что происходят большие потери энергии, ведь только небольшая часть энергии преобразуется в свет, а остальная уходит в тепло.Для этого вводится такое понятие в техники, как КПД, показывающее эффективность работы и преобразования электрической энергии. Такие понятия как КПД и тепловое воздействие тока применяются повсеместно, так как существует огромное количество приборов основанных подобном принципе. Это в первую очередь касается нагревательных приборов: кипятильников, обогревателей, электроплит и т. д.Как правило, в конструкциях перечисленных приборах присутствует некая металлическая спираль, которая и производит нагревание. В приборах для нагревания воды она изолирована, в них устанавливается баланс между потребляемой из сети энергией (в виде электрического тока) и тепловым обменом с окружающей средой.В связи с этим, перед учёными стоит нелёгкая задача по снижению потерь энергии, главной целью является поиск наиболее оптимальной и эффективной схемы. В данном случае тепловое воздействие тока является даже нежелательным, так как именно оно и ведёт к потерям энергии. Самым простым вариантом является повышение напряжения при передаче энергии. В результате снижается сила тока, но это приводит к снижению безопасности линий электропередач.Другое направление исследований – это выбор проводов, ведь от свойств проводника зависят и тепловые потери и прочие показатели. С другой стороны, различные нагревательные приборы требуют большого выделения энергии на определённом участке. Для этих целей изготавливают спирали из специальных сплавов. Для повышения защиты и безопасности электрических цепей применяются специальные предохранители. В случае чрезмерного повышения тока сечение проводника в предохранителе не выдерживает, и он плавится, размыкая цепь, защищая, таким образом, её от токовых перегрузок.

Ускорение при свободном падении

Если тело около поверхности Земли движется только под воздействием силы тяжести ($\overline{F}$), говорят, что оно свободно падает. Ускорение свободного падения обозначают буквой $g$. В соответствии со вторым законом Ньютона это ускорение равно:

где $m$ — масса свободно падающего тела.

В соответствии с законом гравитации величина силы $\overline{F}$ на расстоянии $h$ от поверхности Земли равна:

где $\gamma $- гравитационная постоянная; $M$ — масса Земли; $R$ — радиус Земли.

Получается, что модуль ускорения свободного падения у поверхности Земли ($h\ll R$) равен:

Направлено ускорение свободного падения к центру Земли.

Правая часть выражения (5) дает величину напряженности гравитационного поля Земли вблизи к ее поверхности.

Получаем, что напряжённость гравитационного поля и ускорение свободного падения в поле гравитации — это одно и то же. Поэтому эти величины были сразу обозначены одной буквой.

Величина ускорения свободного падения на расстоянии $h$ от поверхности Земли вычисляется при помощи формулы:

В задачах о движении тел около поверхности Земли ускорение свободного падения считают постоянной величиной, которую вычисляют с помощью формулы (5), так как в сравнении с радиусом Земли рассматриваемые расстояния много меньше, чем $R$. Обычно, ускорение свободного падения на Земле считают равным $g=9,8\ \frac{м}{с^2}$.

Кинематика

Путь при равномерном движении:

Перемещение S (расстояние по прямой между начальной и конечной точкой движения) обычно находится из геометрических соображений. Координата при равномерном прямолинейном движении изменяется по закону (аналогичные уравнения получаются для остальных координатных осей):

Средняя скорость пути:

Средняя скорость перемещения:

Определение ускорения при равноускоренном движении:

Выразив из формулы выше конечную скорость, получаем более распространённый вид предыдущей формулы, которая теперь выражает зависимость скорости от времени при равноускоренном движении:

Средняя скорость при равноускоренном движении:

Перемещение при равноускоренном прямолинейном движении может быть рассчитано по нескольким формулам:

Координата при равноускоренном движении изменяется по закону:

Проекция скорости при равноускоренном движении изменяется по такому закону:

Скорость, с которой упадет тело падающее с высоты h без начальной скорости:

Время падения тела с высоты h без начальной скорости:

Максимальная высота на которую поднимется тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью v, время подъема этого тела на максимальную высоту, и полное время полета (до возвращения в исходную точку):

Формула для тормозного пути тела:

Время падения тела при горизонтальном броске с высоты H может быть найдено по формуле:

Дальность полета тела при горизонтальном броске с высоты H:

Полная скорость в произвольный момент времени при горизонтальном броске, и угол наклона скорости к горизонту:

Максимальная высота подъема при броске под углом к горизонту (относительно начального уровня):

Время подъема до максимальной высоты при броске под углом к горизонту:

Дальность полета и полное время полета тела брошенного под углом к горизонту (при условии, что полет заканчивается на той же высоте с которой начался, т.е. тело бросали, например, с земли на землю):

Определение периода вращения при равномерном движении по окружности:

Определение частоты вращения при равномерном движении по окружности:

Связь периода и частоты:

Линейная скорость при равномерном движении по окружности может быть найдена по формулам:

Угловая скорость вращения при равномерном движении по окружности:

Связь линейной и скорости и угловой скорости выражается формулой:

Связь угла поворота и пути при равномерном движении по окружности радиусом R (фактически, это просто формула для длины дуги из геометрии):

Центростремительное ускорение находится по одной из формул:

Приборы для измерения давления

Разумеется, человечество изобрело многие приборы, позволяющие быстро и удобно измерять уровень давления. Для измерения давления окружающей среды, оно же атмосферное давление используют такой прибор как манометр или барометр.

Так выглядит классический барометр для измерения атмосферного давления.

Чтобы узнать артериальное давление у человека, часто служащее причиной недомоганий используется прибор известный большинству под названием неинвазивный тонометр. Таких приборов существует множество разновидностей.

Также биологи в своих исследованиях занимаются расчетами осмотического давления – это давление внутри и снаружи клетки. А метеорологи, в частности по перепадам давления в окружающей среде предсказывают нам погоду.

Формула гидростатического давления

Как мы знаем, разные агрегатные состояния вещества, имеют разные физические свойства. Жидкости своими свойствами отличаются от твердых тел, а газы в свою очередь отличаются от них всех. Поэтому вполне логично, что способы определения давления для жидкостей, твердых тел и газов также будут разными. Так, например, формула давления воды (или гидростатического давления) будет иметь следующий вид:

P = p*g*h

Где маленькая p – плотность вещества, g – ускорение свободного падения, h – высота.

В частности эта формула объясняет, почему при погружении водолазов (или батискафа или подводной лодки) на глубину все больше возрастает давление окружающей воды. Также из этой формулы понятно, почему на предмет, погруженный в какой-нибудь кисель, будет воздействовать большее давление, чем на предмет, погруженный просто в воду, так как плотность киселя (p) выше, чем у воды, а чем выше плотность жидкости, тем выше ее гидростатическое давление.

Приведенная нами формула гидростатического давления справедлива не только для жидкостей, но и для газов. Поэтому поднимаясь высоко в горы (где воздух более разрежен, а значит меньшее давление), как и спускаясь в подводные глубины, человек, водолаз или альпинист должен пройти специальную адаптацию, привыкнуть к тому, что на него будет воздействовать другое давление.

Резкая смена давления может привести к кессоной болезни (в случае с водолазами) или к «горной» болезни (в случае с альпинистами). И «кесонка» и «горняшка», как их сленгово называют водолазы и альпинисты, вызвана резкой сменной давления окружающей среды. То есть, если не подготовленный человек начнет вдруг подниматься на Эверест, то он быстро словит «горняшку», а если этот же человек начнет опускаться на дно Мариинской впадины, то гарантировано получит «кесонку». В первом случае причиной будет не адаптация организма к пониженному давлению, а во втором – к повышенному.

Американские водолазы в декомпрессионой камере, призванной подготовить их к глубоководным погружениям и адаптировать организм к высокому давлению океанских глубин.

Равноускоренное движение

Равноускоренное движение — это движение, при котором вектор ускорения не меняется по модулю и направлению. Примеры такого движения: велосипед, который катится с горки; камень брошенный под углом к горизонту. Равномерное движение — частный случай равноускоренного движения с ускорением, равным нулю.

Рассмотрим случай свободного падения (тело брошено под уголом к горизонту) более подробно. Такое движение можно представить в виде суммы движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.

В любой точке траектории на тело действует ускорение свободного падения g→, которое не меняется по величине и всегда направлено в одну сторону. 

Вдоль оси X движение равномерное и прямолинейное, а вдоль оси Y — равноускоренное и прямолинейное. Будем рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на оси.

Определение и формула силы Лоренца

Определение

Сила $\bar{F}$ , действующая на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле, равная:

$$\bar{F}=q(1)$$

называется силой Лоренца (магнитной силой).

Исходя из определения (1) модуль рассматриваемой силы:

где $\bar{v}$ – вектор скорости частицы, q – заряд частицы,
$\bar{B}$ – вектор магнитной индукции поля в точке нахождения заряда,
$\alpha$ – угол между векторами
$\bar{v}$ и
$\bar{B}$. Из выражения (2) следует, что если заряд движется параллельно
силовым линиям магнитного поля,то сила Лоренца равна нулю. Иногда силу Лоренца стараясь выделить, обозначают, используя индекс:
$\bar{F}_L$

Формула силы Лоренца при наличии магнитного и электрического полей

Если заряженная частица перемещается в пространстве, в котором находятся одновременно два поля (магнитное и
электрическое), то сила, которая действует на нее, равна:

где $\bar{E}$ – вектор напряженности электрического поля в точке, в которой находится заряд.
Выражение (4) было эмпирически получено Лоренцем. Сила
$\bar{F}$, которая входит в формулу (4) так же называется силой Лоренца
(лоренцевой силой). Деление лоренцевой силы на составляющие: электрическую
$(\bar{F} = q \bar{E})$ и магнитную
$(\bar{F}=q)$ относительно, так как связано с выбором инерциальной системы отсчета.
Так, если система отсчета будет двигаться с такой же скоростью
$\bar{v}$, как и заряд, то в такой системе сила Лоренца, действующая на частицу, будет равна нулю.

Напряжение в цепях постоянного тока

В таких цепях значение описываемой характеристики в течение длительного времени остается постоянным. Постепенное изменение значения данной характеристики при подключении потребителей (нагрузки) к батарее связано с ее разрядкой – уменьшением разности потенциалов между клеммами источника питания вследствие перемещения большего количества носителей зарядов с положительной клеммы на отрицательную.

Ток и напряжение в данном случае связаны законом Ома, формула которого приведена ниже:

I = U/R,

где:

• I – сила тока, А;
• U – разность потенциалов, В;
• R – сопротивление, Ом.

Треугольник Ома – удобная форма формулы одноименного закона

Физическая работа пробного заряда в электрическом поле

Итак, вы превратились в пробный электрический заряд q во много раз меньший чем заряд Q на обкладках конденсатора и начали свое путешествие между обкладок конденсатора. При этом вы будете испытывать действие кулоновых сил. Допустим, что вы являетесь отрицательно заряженной частицей подобно электрону, тогда вас будет притягивать в сторону обкладки +Q, и вас будет отталкивать от обкладки с зарядом -Q. Чем ближе вы будете к одной из обкладок, тем сильнее вы будете испытывать ее силовое действие.

Предположим, что вы вошли в конденсатор со стороны обкладки -Q и вас тут же начало отталкивать от нее в сторону обкладки +Q. Вы не стали сопротивляться такому воздействию и решили не противится природе и двигаться в полном согласии с влечением. Для этих целей как раз удобно расположены балки и лестницы, по которым вы можете свободно добраться до обкладки +Q любым маршрутом. Так как на вас действуют электрическая кулоновская сила, то вы начинаете свободно набирать скорость, словно вас несет ветром. В итоге вы преодолели расстояние по балке от одной лестницы до другой в направлении от точки A к точке B (смотрите рисунок выше). Лестницы — это эквипотенциальные линии, и соответственно, вы преодолели расстояние от одного значения потенциала к другому. В нашем случае вы двигались от того потенциала, который для вас больший по величине, к тому, что меньше. Если же вы были бы зарядом другого знака, то есть +q, тогда потенциалы поменяли бы свои знаки и больший стал бы меньшим, а меньший большим. Математически это означает умножение потенциалов на -1.

На вас действовала сила и вы переместились из точки A в точку B, другими словами вы двигались от потенциала φ_a (большего) к потенциалу φ_b (меньшему). Это подобно тому, как если бы вы плыли по течению реки на плоту, когда вам не нужно грести веслами и не требуется мотора для движения. Можно сказать, что вами совершена механическая работа, которая является вычисляется как произведение силы на расстояние. Совершив такое перемещение, вы потеряли часть потенциальной энергии, которая перешла в кинетическую (скорость вашего движения), а затем выделилась вероятно в виде тепла при торможении. Проделав обратный путь из точки B в точку A, вы будете двигаться как бы против течения, вам придется затратить энергию, грести веслами, использовать мотор и т. п. Переместившись обратно вы увеличите свою потенциальную энергию, потому как переместитесь в точку с большим потенциалом и ваше энергетическое состояние увеличится.

Разность этих двух потенциалов φ_a и φ_b и будет являться электрическим напряжением. Это равнозначные понятия, но в практической электротехнике чаще всего употребляют выражение не разность потенциалов, а напряжение. При рассмотрении электрических цепей употребляют такое выражение как падение напряжения на участке цепи, а для источников электричество та же самая разность потенциалов определяется как электродвижущая сила (ЭДС).

Разность потенциалов Δφ=φ₁-φ₂ всегда показывает какую работу A может совершить носитель заряда q при перемещении этого заряда из точки с одним потенциалом φ₁ в точку с другим потенциалом φ₂. При вычислении надо иметь в виду, что потенциалы могут быть как со знаком плюс, так и со знаком минус.

Если заряду для такого перемещения требуется затратить энергию, а значит увеличить свой потенциал, то тогда работа А будет со знаком (-), а если носитель заряда перемещается из области высокого потенциала в область с низким потенциалом, тогда происходит выделение энергии и работа А будет со знаком (+). Таким образом электрическое напряжение — это энергетическая характеристика электрического поля и представляет собой разность потенциалов Δφ. Это значит, что принципиально неверно утверждать, что напряжение — это потенциал. Электрическое напряжение — это всегда разность потенциалов и она возможна только между двумя точками электрического поля. Если имеется одна точка в пространстве электрического поля, тогда уместно говорить только о потенциале этой точки, но никак ни о ее напряжении.

Необходимо совершенно ясно представлять в чем заключаются различия между такими понятиями как: напряженность электрического поля E, потенциал φ, и, конечно, разность потенциалов — электрическое напряжение. Поняв эти различия, будет совершенно легко разобраться с тем, что такое электрический ток.

Доказательства

Возможны различные доказательства формулы.

Используя дифференциацию

Это доказательство показывает, что частное тригонометрического и экспоненциального выражений является постоянной функцией, поэтому они должны быть равны (экспоненциальная функция никогда не равна нулю, поэтому это разрешено).

Пусть f ( θ ) — функция

ж(θ)знак равное-яθ(потому что⁡θ+ягрех⁡θ){\ Displaystyle е (\ тета) = е ^ {- я \ тета} (\ соз \ тета + я \ грех \ тета)}

для действительного θ . Дифференцируя, мы имеем по правилу произведения

ж′(θ)знак равное-яθ(япотому что⁡θ-грех⁡θ)-яе-яθ(потому что⁡θ+ягрех⁡θ)знак равно{\ Displaystyle е ‘(\ тета) = е ^ {- я \ тета} (я \ соз \ тета — \ грех \ тета) -ie ^ {- я \ тета} (\ соз \ тета + я \ грех \ тета ) = 0}

Таким образом, f ( θ ) — постоянная величина. Поскольку f (0) = 1 , то f ( θ ) = 1 для всех действительных θ , и, следовательно,

еяθзнак равнопотому что⁡θ+ягрех⁡θ.{\ Displaystyle е ^ {я \ тета} = \ соз \ тета + я \ грех \ тета.}

Использование степенного ряда

Вот доказательство формулы Эйлера с использованием разложения в степенной ряд , а также основные факты о степенях i :

язнак равно1,я1знак равноя,я2знак равно-1,я3знак равно-я,я4знак равно1,я5знак равноя,я6знак равно-1,я7знак равно-я⋮⋮⋮⋮{\ displaystyle {\ begin {align} i ^ {0} & = 1, & i ^ {1} & = i, & i ^ {2} & = — 1, & i ^ {3} & = — i, \\ i ^ {4} & = 1, & i ^ {5} & = i, & i ^ {6} & = — 1, & i ^ {7} & = — i \\ & \ vdots && \ vdots && \ vdots && \ vdots \ конец {выровнено}}}

Используя определение степенного ряда, приведенное выше, мы видим, что для действительных значений x

еяИксзнак равно1+яИкс+(яИкс)22!+(яИкс)33!+(яИкс)44!+(яИкс)55!+(яИкс)66!+(яИкс)77!+(яИкс)88!+⋯знак равно1+яИкс-Икс22!-яИкс33!+Икс44!+яИкс55!-Икс66!-яИкс77!+Икс88!+⋯знак равно(1-Икс22!+Икс44!-Икс66!+Икс88!-⋯)+я(Икс-Икс33!+Икс55!-Икс77!+⋯)знак равнопотому что⁡Икс+ягрех⁡Икс,{\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {ix} & = 1 + ix + {\ frac {(ix) ^ {2}} {2!}} + {\ frac {(ix) ^ {3}} { 3!}} + {\ Frac {(ix) ^ {4}} {4!}} + {\ Frac {(ix) ^ {5}} {5!}} + {\ Frac {(ix) ^ { 6}} {6!}} + {\ Frac {(ix) ^ {7}} {7!}} + {\ Frac {(ix) ^ {8}} {8!}} + \ Cdots \\ & = 1 + ix — {\ frac {x ^ {2}} {2!}} — {\ frac {ix ^ {3}} {3!}} + {\ Frac {x ^ {4}} {4!}} + {\ Frac {ix ^ {5}} {5!}} — {\ frac {x ^ {6}} {6!}} — {\ frac {ix ^ {7}} {7 !}} + {\ frac {x ^ {8}} {8!}} + \ cdots \\ & = \ left (1 — {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} — {\ frac {x ^ {6}} {6!}} + {\ frac {x ^ {8}} {8!}} — \ cdots \ right) + i \ left (x — {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} — {\ frac {x ^ {7 }} {7!}} + \ Cdots \ right) \\ & = \ cos x + i \ sin x, \ end {align}}}

где на последнем этапе мы узнаем, что два члена — это для cos x и sin x . Перестановка членов оправдана, потому что каждый ряд абсолютно сходится .

Использование полярных координат

Другое доказательство основано на том факте, что все комплексные числа могут быть выражены в полярных координатах. Следовательно, для некоторых r и θ, зависящих от x ,

еяИксзнак равнор(потому что⁡θ+ягрех⁡θ).{\ Displaystyle е ^ {ix} = г (\ соз \ тета + я \ грех \ тета).}

Никаких предположений относительно r и θ не делается ; они будут определены в ходе доказательства. Из любого определения экспоненциальной функции можно показать, что производная от e ix равна ie ix . Следовательно, дифференцирование обеих сторон дает

яеяИксзнак равно(потому что⁡θ+ягрех⁡θ)dрdИкс+р(-грех⁡θ+япотому что⁡θ)dθdИкс.{\ displaystyle ie ^ {ix} = (\ соз \ theta + я \ sin \ theta) {\ frac {dr} {dx}} + r (- \ sin \ theta + i \ cos \ theta) {\ frac { d \ theta} {dx}}.}

Подставляя R (COS θ + я грех thetas ; ) для электронной IX и приравнивая действительные и мнимые части в этой формуле даетдокторdx= 0 иdθdx= 1 . Таким образом, г является константой, а θ является й + C для некоторой константы C . Начальные значения r (0) = 1 и θ (0) = 0 происходят из e 0 i = 1 , что дает r = 1 и θ = x . Это доказывает формулу

еяИксзнак равно1(потому что⁡Икс+ягрех⁡Икс)знак равнопотому что⁡Икс+ягрех⁡Икс.{\ Displaystyle е ^ {ix} = 1 (\ соз х + я \ грех х) = \ соз х + я \ грех х.}

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

• Бросаем игральный кубик, где вероятности выпадения определенной цифры одинаковы в каждом броске.
• Включаем лампы с заранее заданной одинаковой вероятностью выхода из строя каждой.
• Лучник повторяет выстрелы по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой.

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

1. Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, значит:p = P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) — буквой qq = P(¯A) = 1 — p.
2. Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли:P_n(k) = C_nk * pk * qn-k, где q = 1 — p.

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Как рассуждаем:

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец

Определения комплексного возведения в степень

Экспоненциальная функция e x для действительных значений x может быть определена несколькими различными эквивалентными способами (см. Характеристики экспоненциальной функции ). Некоторые из этих методов могут быть непосредственно расширены, чтобы дать определения e z для комплексных значений z, просто подставив z вместо x и используя сложные алгебраические операции. В частности, мы можем использовать любое из трех следующих эквивалентных определений. С более продвинутой точки зрения, каждый из этих определений могут быть истолкован как предоставление уникального аналитического продолжения в е й в комплексную плоскость.

Определение дифференциального уравнения

Экспоненциальная функцией является единственной дифференцируемой функцией из комплексных переменных таким образом, что
z↦еz{\ Displaystyle г \ mapsto е ^ {г}}

dеzdzзнак равноеz{\ displaystyle {\ frac {de ^ {z}} {dz}} = e ^ {z}}

а также

езнак равно1.{\ displaystyle e ^ {0} = 1.}

Определение степенного ряда

Для комплексного z

еzзнак равно1+z1!+z22!+z33!+⋯знак равно∑пзнак равно∞zпп!.{\ displaystyle e ^ {z} = 1 + {\ frac {z} {1!}} + {\ frac {z ^ {2}} {2!}} + {\ frac {z ^ {3}} { 3!}} + \ Cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}.}.}

Используя тест отношения , можно показать, что этот степенной ряд имеет бесконечный радиус сходимости и, таким образом, определяет e z для всех комплексных z .

Определение предела

Для комплексного z

еzзнак равноLimп→∞(1+zп)п.{\ displaystyle e ^ {z} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + {\ frac {z} {n}} \ right) ^ {n}.}

Здесь n ограничено положительными целыми числами , поэтому нет никаких сомнений в том, что означает степень с показателем n .

Термодинамика

Количество теплоты (энергии) необходимое для нагревания некоторого тела (или количество теплоты выделяющееся при остывании тела) рассчитывается по формуле:

Теплоемкость (С — большое) тела может быть рассчитана через удельную теплоёмкость (c — маленькое) вещества и массу тела по следующей формуле:

Тогда формула для количества теплоты необходимой для нагревания тела, либо выделившейся при остывании тела может быть переписана следующим образом:

Фазовые превращения. При парообразовании поглощается, а при конденсации выделяется количество теплоты равное:

При плавлении поглощается, а при кристаллизации выделяется количество теплоты равное:

При сгорании топлива выделяется количество теплоты равное:

Уравнение теплового баланса (ЗСЭ). Для замкнутой системы тел выполняется следующее (сумма отданных теплот равна сумме полученных):

Если все теплоты записывать с учетом знака, где «+» соответствует получению энергии телом, а «–» выделению, то данное уравнение можно записать в виде:

Работа идеального газа:

Если же давление газа меняется, то работу газа считают, как площадь фигуры под графиком в p–V координатах. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа:

Изменение внутренней энергии рассчитывается по формуле:

Первый закон (первое начало) термодинамики (ЗСЭ):

Для различных изопроцессов можно выписать формулы по которым могут быть рассчитаны полученная теплота Q, изменение внутренней энергии ΔU и работа газа A. Изохорный процесс (V = const):

Изобарный процесс (p = const):

Изотермический процесс (T = const):

Адиабатный процесс (Q = 0):

КПД тепловой машины может быть рассчитан по формуле:

Где: Q₁ – количество теплоты полученное рабочим телом за один цикл от нагревателя, Q₂ – количество теплоты переданное рабочим телом за один цикл холодильнику. Работа совершенная тепловой машиной за один цикл:

Наибольший КПД при заданных температурах нагревателя T₁ и холодильника T₂, достигается если тепловая машина работает по циклу Карно. Этот КПД цикла Карно равен:

Абсолютная влажность рассчитывается как плотность водяных паров (из уравнения Клапейрона-Менделеева выражается отношение массы к объему и получается следующая формула):

Относительная влажность воздуха может быть рассчитана по следующим формулам:

Потенциальная энергия поверхности жидкости площадью S:

Сила поверхностного натяжения, действующая на участок границы жидкости длиной L:

Высота столба жидкости в капилляре:

При полном смачивании θ = 0°, cos θ = 1. В этом случае высота столба жидкости в капилляре станет равной:

При полном несмачивании θ = 180°, cos θ = –1 и, следовательно, h < 0. Уровень несмачивающей жидкости в капилляре опускается ниже уровня жидкости в сосуде, в которую опущен капилляр.

Похожие записи:

Схема подключения однофазного счетчика Трехфазное реле контроля напряжения Коробка уравнивания разности потенциалов Перегрузка трансформатора 1b smd транзистор Урок 1. как правильно включать и выключать компьютер