Программа расчета резонансного контура

Введение

Основными пассивными элементами линейной цепи являются резистор (R), конденсатор (C) и индуктор (L). Эти элементы схемы могут быть объединены в электрическую цепь четырьмя различными способами: RC-цепь , RL-цепь, LC-цепь и RLC-цепь с сокращениями, указывающими, какие компоненты используются. Эти схемы демонстрируют важные типы поведения, которые являются фундаментальными для аналоговой электроники . В частности, они могут действовать как . В этой статье рассматривается схема RL как и как показано на схемах.

На практике, однако, конденсаторы (и RC-цепи) обычно предпочтительнее катушек индуктивности, поскольку их легче изготовить и, как правило, они физически меньше, особенно для компонентов с более высокой стоимостью.

Обе цепи RC и RL образуют однополюсный фильтр. В зависимости от того, находится ли реактивный элемент (C или L) последовательно с нагрузкой или параллельно с нагрузкой, будет зависеть, является ли фильтр низкочастотным или высокочастотным.

Часто цепи RL используются в качестве источников питания постоянного тока для усилителей RF, где индуктивность используется для пропускания постоянного тока смещения и блокировки возврата RF в источник питания.

Эта статья основана на знании комплексного импеданса представления и на знании частотной области представления сигналов .

Решение Лапласа

LC-цепь может быть решена с помощью преобразования Лапласа .

Пусть общее уравнение будет:

vC(т)знак равноv(т){\ Displaystyle v_ {C} (т) = v (т)}

я(т)знак равноCdvCdт{\ Displaystyle я (т) = С {\ гидроразрыва {\ mathrm {d} v_ {C}} {\ mathrm {d} t}}}

vL(т)знак равноLdяdт{\ displaystyle v_ {L} (t) = L {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}}}

Пусть дифференциальное уравнение серии LC имеет вид:

vяп(т)знак равноvL(т)+vC(т)знак равноLdяdт+vзнак равноLCd2vdт2+v{\ displaystyle v_ {in} (t) = v_ {L} (t) + v_ {C} (t) = L {\ frac {\ mathrm {d} i} {\ mathrm {d} t}} + v = LC {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} v} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + v}

С начальным состоянием:

{v()знак равноvя()знак равноязнак равноC⋅v′()знак равноC⋅v′{\ Displaystyle {\ begin {case} v (0) = v_ {0} \\ i (0) = i_ {0} = C \ cdot v ‘(0) = C \ cdot v’ _ {0} \ end {случаи}}}

Определим:

ωзнак равно1LC{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

ж(т)знак равноω2vяп(т){\ displaystyle f (t) = \ omega _ {0} ^ {2} v_ {in} (t)}

Дает:

ж(т)знак равноd2vdт2+ω2v{\ displaystyle f (t) = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} v} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} v}

Преобразование с помощью Лапласа:

Lж(т)знак равноLd2vdт2+ω2v{\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left = {\ mathcal {L}} \ left }

F(s)знак равноs2V(s)-sv-v′+ω2V(s){\ Displaystyle F (s) = s ^ {2} V (s) -sv_ {0} -v ‘_ {0} + \ omega _ {0} ^ {2} V (s)}

V(s)знак равноsv+v′+F(s)s2+ω2{\ displaystyle V (s) = {\ frac {sv_ {0} + v ‘_ {0} + F (s)} {s ^ {2} + \ omega _ {0} ^ {2}}}}

Тогда антитрансформация:

v(т)знак равноvпотому что⁡(ωт)+v′ωгрех⁡(ωт)+L-1F(s)s2+ω2{\ displaystyle v (t) = v_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t) + {\ frac {v ‘_ {0}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) + {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left }

Если входное напряжение является ступенчатой ​​функцией Хевисайда :

vяп(т)знак равноMты(т){\ displaystyle v_ {in} (t) = Mu (t)}

L-1ω2Vяп(s)s2+ω2знак равноL-1ω2M1s(s2+ω2)знак равноM(1-потому что⁡(ωт)){\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left = M (1- \ cos (\ omega _ {0} t))}

v(т)знак равноvпотому что⁡(ωт)+v′ωгрех⁡(ωт)+M(1-потому что⁡(ωт)){\ displaystyle v (t) = v_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t) + {\ frac {v ‘_ {0}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) + M (1- \ cos (\ omega _ {0} t))}

Если входное напряжение является синусоидальной функцией:

vяп(т)знак равноUгрех⁡(ωжт)⇒Vяп(s)знак равноUωжs2+ωж2{\ displaystyle v_ {in} (t) = U \ sin (\ omega _ {f} t) \ Rightarrow V_ {in} (s) = {\ frac {U \ omega _ {f}} {s ^ {2 } + \ omega _ {f} ^ {2}}}}

L-1ω21s2+ω2Uωжs2+ωж2знак равноL-1ω2Uωжωж2-ω2(1s2+ω2-1s2+ωж2)знак равноω2Uωжωж2-ω2(1ωгрех⁡(ωт)-1ωжгрех⁡(ωжт)){\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left = {\ frac {\ omega _ {0} ^ {2} U \ omega _ {f}} {\ omega _ {f} ^ {2} — \ omega _ {0} ^ {2}}} \ left ({\ frac {1} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) — {\ frac {1} {\ omega _ {f}} } \ sin (\ omega _ {f} t) \ right)}

v(т)знак равноvпотому что⁡(ωт)+v′ωгрех⁡(ωт)+ω2Uωжωж2-ω2(1ωгрех⁡(ωт)-1ωжгрех⁡(ωжт)){\ displaystyle v (t) = v_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t) + {\ frac {v ‘_ {0}} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) + {\ frac {\ omega _ {0} ^ {2} U \ omega _ {f}} {\ omega _ {f} ^ {2} — \ omega _ {0} ^ {2} }} \ left ({\ frac {1} {\ omega _ {0}}} \ sin (\ omega _ {0} t) — {\ frac {1} {\ omega _ {f}}} \ sin ( \ omega _ {f} t) \ right)}

Резонанс

Если схема с конденсатором, катушкой и резистором возбуждается напряжением, постоянно меняющимся во времени с определенной частотой, то также изменяются реактивные сопротивления: индуктивное и емкостное. Амплитуда и частота выходного сигнала будет изменяться по сравнению с входным.

Частота вращения: формула

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте:

X(L) = 2π x f x L,

а емкостное сопротивление обратно пропорционально этому показателю:

X(C) = 1/(2π x f x C).

Важно! На более низких частотах индуктивное сопротивление незначительное, а емкостное будет высоким и сможет создавать практически разомкнутый контур. На высоких частотах картина обратная

При конкретной комбинации конденсатора и катушки схема становится резонансной, или настроенной, имеющей частоту колебаний, при которой индуктивное сопротивление идентично емкостному. И они компенсируют друг друга.

Следовательно, в цепи остается исключительно активное сопротивление, противостоящее протекающему току. Созданные условия получили наименование резонанса колебательного контура. Фазовый сдвиг между током и напряжением отсутствует.

Резонанс LC-цепи

Для расчета резонансной частоты колебательного контура учитывается следующее условие:

X(L) = X(C).

Следовательно, 2π x f x L = 1/(2πx f x C).

Отсюда получается формула резонансной частоты:

f = 1/(2π x √(L x C)).

Расчет резонансной частоты, индуктивности и емкости можно сделать на онлайн калькуляторе, подставив конкретные значения.

Скорость, с которой рассеивается энергия от LC-схемы, должна быть такой же, как энергия, подаваемая на схему. Устойчивые, или незатухающие, колебания производятся электронными схемами генераторов.

LC-цепи используются либо для генерации сигналов на определенной частоте, либо для выделения частотного сигнала из более сложного. Они являются ключевыми компонентами многих электронных устройств, в частности радиооборудования, используемого в генераторах, фильтрах, тюнерах и частотных микшерах.

Решение для временной области [ править ]

Законы Кирхгофа править

По закону Кирхгофа напряжение V _C на конденсаторе плюс напряжение V _L на катушке индуктивности должно равняться нулю:

VC+VLзнак равно{\ displaystyle V_ {C} + V_ {L} = 0.}

Аналогичным образом, согласно закону Кирхгофа , ток через конденсатор равен току через катушку индуктивности:

яCзнак равнояL.{\ displaystyle I_ {C} = I_ {L}.}

Из определяющих соотношений для элементов схемы мы также знаем, что

VL(т)знак равноLdяLdт,яC(т)знак равноCdVCdт.{\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=L{\frac {\mathrm {d} I_{L}}{\mathrm {d} t}},\\I_{C}(t)&=C{\frac {\mathrm {d} V_{C}}{\mathrm {d} t}}.\end{aligned}}}

Дифференциальное уравнение править

Преобразование и замена дает дифференциальное уравнение второго порядка

d2dt2I(t)+1LCI(t)={\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {1}{LC}}I(t)=0.}

Параметр ω , резонансная угловая частота , определяется как

ω=1LC.{\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.}

Используя это, можно упростить дифференциальное уравнение:

d2dt2I(t)+ω2I(t)={\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0.}

Связанное преобразование Лапласа IS

s2+ω2=,{\displaystyle s^{2}+\omega _{0}^{2}=0,}

таким образом

s=±jω,{\displaystyle s=\pm j\omega _{0},}

где j — мнимая единица .

Решение править

Таким образом, полное решение дифференциального уравнения есть

I(t)=Ae+jωt+Be−jωt{\displaystyle I(t)=Ae^{+j\omega _{0}t}+Be^{-j\omega _{0}t}}

и может быть решена для A и B с учетом начальных условий. Поскольку экспонента комплексная , решение представляет собой синусоидальный переменный ток . Поскольку электрический ток I является физической величиной, он должен быть действительным. В результате можно показать, что константы A и B должны быть комплексно сопряженными

A=B∗.{\displaystyle A=B^{*}.}

Теперь позвольте

A=I2e+jϕ.{\displaystyle A={\frac {I_{0}}{2}}e^{+j\phi }.}

Следовательно,

B=I2e−jϕ.{\displaystyle B={\frac {I_{0}}{2}}e^{-j\phi }.}

Затем мы можем использовать формулу Эйлера для получения действительной синусоиды с амплитудой I , угловой частотой ω =1√ LC, и фазовый угол .
ϕ{\displaystyle \phi }

Таким образом, полученное решение становится

I(t)=Icos⁡(ωt+ϕ),{\displaystyle I(t)=I_{0}\cos \left(\omega _{0}t+\phi \right),}

V(t)=LdIdt=−ωLIsin⁡(ωt+ϕ).{\displaystyle V(t)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \left(\omega _{0}t+\phi \right).}

Начальные условия править

Начальные условия, которые удовлетворяют этому результату, следующие:

I()=Icos⁡ϕ,{\displaystyle I(0)=I_{0}\cos \phi ,}

V()=LdIdt|t==−ωLIsin⁡ϕ.{\displaystyle V(0)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{t=0}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \phi .}

Что такое индуктивность?

Индуктивность катушки колебательного контура — это индивидуальный показатель, численно равный электродвижущей силе (в вольтах), которая возникает в цепи при изменении силы тока на 1 А за 1 секунду. Если соленоид подключён к цепи постоянного тока, то её индуктивность описывает энергию магнитного поля, которое создаётся этим током по формуле:

W=(L*I2)/2, где W — энергия магнитного поля.

Коэффициент индуктивности зависит от многих факторов: от геометрии соленоида, от магнитных характеристик сердечника и от количества мотков проволоки. Ещё одно свойство этого показателя в том, что он всегда положителен, потому что переменные, от которых она зависит, не могут быть отрицательными.

Индуктивность также можно определить как свойство проводника с током накапливать энергию в магнитном поле. Она измеряется в Генри (названа в честь американского учёного Джозефа Генри).

Кроме соленоида колебательный контур состоит из конденсатора, о котором пойдёт речь далее.

Терминология

Описанная выше двухэлементная LC-схема представляет собой простейший тип индукторно-конденсаторная сеть (или же Сеть LC). Его также называют LC-цепь второго порядка чтобы отличить его от более сложных (более высокого порядка) LC-сетей с большим количеством индукторов и конденсаторов. Такие LC-сети с более чем двумя реактивными сопротивлениями могут иметь более одного резонансная частота.

Порядок сети — это порядок рациональная функция описывая сеть в комплексная частота Переменная s. Как правило, порядок равен количеству элементов L и C в схеме и в любом случае не может превышать это количество.

История [ править ]

Первое свидетельство того, что конденсатор и индуктор могут вызывать электрические колебания, было обнаружено в 1826 году французским ученым Феликсом Савари . Он обнаружил, что, когда лейденская банка разряжалась через проволоку, намотанную вокруг железной иглы, иногда игла оставалась намагниченной в одном направлении, а иногда в противоположном. Он правильно пришел к выводу, что это было вызвано затухающим колеблющимся током разряда в проводе, который менял намагниченность иглы назад и вперед до тех пор, пока она не становилась слишком маленькой, чтобы оказывать влияние, оставляя иглу намагниченной в случайном направлении. Американский физик Джозеф Генри повторил эксперимент Савари в 1842 году и пришел к такому же выводу, по-видимому, независимо. Ирландский ученый Уильям Томсон (лорд Кельвин) в 1853 году математически показал, что разряд лейденской банки через индуктивность должен быть колебательным, и определил его резонансную частоту. Британский радиоисследователь Оливер Лодж , разрядив большую батарею лейденских банок через длинный провод, создал настроенный контур с его резонансной частотой в звуковом диапазоне, который производил музыкальный тон из искры, когда он был разряжен. В 1857 году немецкий физик Беренд Вильгельм Феддерсен сфотографировал искру, вызванную резонансным контуром лейденской банки во вращающемся зеркале, предоставив видимые свидетельства колебаний. В 1868 году шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл вычислил эффект приложения переменного тока к цепи с индуктивностью и емкостью, показав, что отклик максимален на резонансной частоте. Первый примеркривойэлектрического резонанса был опубликован в 1887 году немецким физиком Генрихом Герцем в его новаторской статье об открытии радиоволн, в которой показана длина искры, получаемой от его детекторов с искровым разрядником LC-резонатора, как функция частоты. .

Одной из первых демонстраций резонанса между настроенными контурами был эксперимент Лоджа с «синтонными сосудами» около 1889 года. Он поместил два резонансных контура рядом друг с другом, каждый из которых состоял из лейденского сосуда, подключенного к регулируемой однооборотной катушке. с искровым разрядником. Когда высокое напряжение от индукционной катушки прикладывалось к одному настроенному контуру, создавая искры и, следовательно, колеблющиеся токи, искры возбуждались в другом настроенном контуре только тогда, когда контуры были настроены на резонанс. Лодж и некоторые английские ученые предпочли термин « синтония » для этого эффекта, но термин « резонанс » в конце концов прижился. Первое практическое использование LC-цепей было в 1890-х годах врадиопередатчики с искровым разрядником, позволяющие настраивать приемник и передатчик на одну и ту же частоту. Первый патент на радиосистему, позволяющую настройку, был подан Лоджем в 1897 году, хотя первые практические системы были изобретены в 1900 году итальянским пионером радио Гульельмо Маркони .

Последовательный колебательный контур обозначение на схеме

Последовательный колебательный контур – это цепь, состоящая их катушки индуктивности и конденсатора, которые соединяются последовательно.

Идеальный последовательный колебательный контур

 На схемах идеальный последовательный колебательный контур обозначается вот так:

где

L – индуктивность, Гн

С – емкость, Ф

Реальный последовательный колебательный контур

Реальный колебательный контур имеет сопротивление потерь катушки и конденсатора. Это суммарное суммарное сопротивление потерь обозначается буквой R. В результате, реальный последовательный колебательный контур будет иметь такой вид:

R  – это суммарное сопротивление потерь катушки и конденсатора

L – собственно сама индуктивность катушки

С – собственно сама емкость конденсатора

Способы расчёта

Существует несколько основных способов определить индуктивность катушки. Все формулы, которые будут использоваться в расчётах, легко можно найти в справочной литературе или интернете. Весь процесс вычисления довольно простой и не составит труда для людей, имеющих элементарные математические и физические знания.

Вам это будет интересно Принцип работы реле тока и виды устройств

Через силу тока

Этот расчёт считается самым простым способом определения индуктивности катушки. Формула через силу тока вытекает из самого термина. Какова индуктивность катушки — можно определить по формуле: L=Ф/I, где:

• L — индуктивность контура (в генри);
• Ф — величина магнитного потока, измеряемого в веберах;
• I — сила тока в катушке (в амперах).

Соленоид конечной длины

Соленоид представляет собой тонкую длинную катушку, где толщина обмотки значительно меньше диаметра. В этом случае расчёты ведутся по той же формуле, что и через силу тока, только величина магнитного потока будет определяться следующим образом: Ф=µ0NS/l, где:

• µ0 — магнитная проницаемость среды, определяющаяся по справочным таблицам (для воздуха, который принимается по умолчанию в большинстве расчётов, она равна 0,00000126 генри/метр);
• N — количество витков в катушке;
• S — площадь поперечного сечения витка, измеряемая в квадратных метрах;
• l — длина соленоида в метрах.

Коэффициент самоиндукции соленоида можно рассчитать и исходя из способа определения энергии магнитного потока поля. Это более простой вариант, но он требует наличия некоторых величин. Формула для нахождения индуктивности — L=2W/I 2 , где:

• W — энергия магнитного потока, измеряемая в джоулях;
• I — сила тока в амперах.

Катушка с тороидальным сердечником

В большинстве случаев тороидальная катушка наматывается на сердечник, изготовленный из материала, обладающего большой магнитной проницаемостью. В этом случае для расчётов индуктивности можно использовать формулу для прямого соленоида бесконечной длины. Она имеет такой вид: L=N µ0 µS/2 πr, где:

• N — число витков катушки;
• µ — относительная магнитная проницаемость;
• µ0 — магнитная постоянная;
• S — площадь сечения сердечника;
• π — математическая постоянная, равная 3,14;
• r — средний радиус тора.

Вам это будет интересно Особенности припоя для пайки

Длинный проводник

Большинство таких квазилинейных проводников имеет круглое сечение. В этом случае величина коэффициента самоиндукции будет определяться по стандартной формуле для приближённых расчётов: L= µ0l (µelnl/r+ µi/4)/2 π. Здесь используются следующие обозначения:

• l — длина проводника в метрах;
• r — радиус сечения провода, измеряемый в метрах;
• µ0 — магнитная постоянная;
• µi — относительная магнитная проницаемость, характерная для материала, из которого изготовлен проводник;
• µe — относительная магнитная проницаемость внешней среды (чаще всего принимается значение для вакуума, которое равняется 1);
• π — число Пи;
• ln — обозначение логарифма.

Емкость — колебательный контур

Если частота генератора изменяется посредством изменения емкости колебательного контура, то удобнее для р воспользоваться формулой р — ( иЬк, и, следовательно.
 

С увеличением частоты уменьшаются величины индуктивностей и емкостей колебательных контуров, входящих в состав внешних цепей лампы. Их величины становятся соизмеримыми с индуктив-ностя ми вводов и междуэлектродными емкостями электронного прибора. Резонансная частота колебательного контура, состоящего из междуэлектродных емкостей и индуктивностей замкнутых накоротко вводов, определяет предельную частоту контура.
 

Допустим, что в результате изменения индуктивности или емкости колебательного контура изменилась частота генератора.
 

Климовым были испытаны различные варианты сочетания индуктивности и емкости колебательного контура при возбуждении спектра в разряде высоковольтной конденсированной искры. Достигнутая абсолютная чувствительность порядка Ю-7 — 10 — 9 г является весьма высокой и не уступает чувствительности дугового метода.
 

В заключение заметим, что в схемах с нейтрализацией емкость колебательного контура увеличивается за счет емкости, вносимой нейтродинным конденсатором CN. В этом случае схема контура должна рассматриваться с учетом емкостей CN и Cga и индуктив-ностей L.
 

Частота генерируемых колебаний уменьшается при увеличении индуктивности LK и емкости Ск колебательного контура, При этом увеличиваются токи утечки конденсатора и активное сопротивление обмоток катушек, а добротность контура снижается.
 

Изменение ( вариация) реактивной проводимости осуществляется обычно изменением емкости колебательного контура. В схеме используется высокочастотный генератор с фиксированной частотой. С ним слабо связан измерительный колебательный контур, содержащий катушку индуктивности и конденсатор переменной емкости ( рис. 4 — 10, а), па -, раллельно которому может присоединяться испытуемый образец. Генератор работает в режиме неизменного тока, поэтому напряжение на параллельном колебательном контуре ( рис. 4 — 11, а) при изменении реактивной проводимости ( обычно емкости) контура переходит через максимум, а затем уменьшается.
 

Метод вариации реактивной проводимости осуществляется в основном путем изменения емкости колебательного контура. Если, не подключив образца к зажимам Сх ( рис. 2 — 12 а), изменять емкость образцового конденсатора С0, то показания гальванометра достигнут максимума, а потом начнут уменьшаться.
 

Метод вариации реактивной проводимости осуществляется в основном путем изменения емкости колебательного контура. Если, не подключив образца к зажимам Сх ( рис. 2 — 12 а), изменять емкость образцового конденсатора Со, то показания гальванометра достигнут максимума, а потом начнут уменьшаться.
 

Величина емкости, найденная из этого уравнения, должна соответствовать емкости колебательного контура в среднем положении ротора переменного конденсатора.
 

Операция

Анимированная диаграмма, показывающая работу настроенной цепи (LC-цепи). Конденсатор C накапливает энергию в своем электрическом поле E, а индуктор L накапливает энергию в своем магнитном поле B ( зеленый ) . Анимация показывает схему в прогрессивных точках колебания. Колебания замедляются; в реальной настроенной цепи заряд может колебаться назад и вперед от тысячи до миллиардов раз в секунду.

LC-контур, колеблющийся на своей собственной резонансной частоте , может накапливать электрическую энергию . Смотрите анимацию. Конденсатор накапливает энергию в электрическом поле ( E ) между пластинами, в зависимости от напряжения на нем, а индуктор накапливает энергию в своем магнитном поле ( B ) в зависимости от протекающего через него тока .

Если катушка индуктивности подключена к заряженному конденсатору, напряжение на конденсаторе будет пропускать ток через катушку индуктивности, создавая вокруг нее магнитное поле. Напряжение на конденсаторе падает до нуля, поскольку заряд расходуется текущим током. В этот момент энергия, запасенная в магнитном поле катушки, индуцирует напряжение на катушке, потому что индукторы противодействуют изменениям тока. Это индуцированное напряжение заставляет ток начать перезаряжать конденсатор напряжением, противоположным полярности его первоначального заряда. В связи с законом Фарадея , то ЭДС , который приводит в действие тока обусловлено уменьшением в магнитном поле, таким образом , энергия , необходимая для зарядки конденсатора извлекается из магнитного поля. Когда магнитное поле полностью рассеивается, ток прекращается, и заряд снова сохраняется в конденсаторе с противоположной полярностью, как и раньше. Затем цикл начнется снова, и ток будет течь в обратном направлении через индуктор.

Заряд течет вперед и назад между пластинами конденсатора через катушку индуктивности. Энергия колеблется между конденсатором и катушкой индуктивности до тех пор, пока внутреннее сопротивление (если не восполняется из внешней цепи) не заставит колебания затухнуть. Действие настроенной схемы, математически известной как гармонический осциллятор , похоже на маятник, раскачивающийся взад и вперед, или плеск воды в баке; по этой причине контур также называют контуром резервуара . Собственная частота (то есть частота, с которой он будет колебаться, когда он изолирован от любой другой системы, как описано выше) определяется значениями емкости и индуктивности. В большинстве приложений настроенная схема является частью более крупной схемы, которая применяет к ней переменный ток , вызывая непрерывные колебания. Если частота приложенного тока является собственной резонансной частотой схемы ( собственная частота ниже), произойдет резонанс , и небольшой управляющий ток может вызвать колебательные напряжения и токи большой амплитуды. В типичных настроенных схемах электронного оборудования колебания происходят очень быстро, от тысяч до миллиардов раз в секунду.
ж{\ displaystyle f_ {0} \,}

Колебательный контур LC

Колебательный контур

— электрическая цепь, в которой могут возникать колебания с частотой, определяемой параметрами цепи.

Простейший колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности, соединенных параллельно или последовательно.

— Конденсатор C

– реактивный элемент. Обладает способностью накапливать и отдавать электрическую энергию. — Катушка индуктивностиL – реактивный элемент. Обладает способностью накапливать и отдавать магнитную энергию.

Рассмотрим, как возникают и поддерживаются свободные электрические колебания в параллельном контуре LC

Основные свойства индуктивности

— Ток, протекающий в катушке индуктивности, создаёт магнитное поле с энергией . — Изменение тока в катушке вызывает изменение магнитного потока в её витках, создавая в них ЭДС, препятствующую изменению тока и магнитного потока.

Природа электромагнитных колебаний в контуре

Период свободных колебаний контура LC

можно описать следующим образом:

Если конденсатор ёмкостью C

заряжен до напряженияU , потенциальная энергия его заряда составит. Если параллельно заряженному конденсатору подключить катушку индуктивностиL , в цепи пойдёт ток разряда конденсатора, создавая магнитное поле в катушке.

Внешний магнитный поток создаст ЭДС в направлении противоположном току в катушке, что будет препятствовать нарастанию тока в каждом витке, поэтому конденсатор разрядится не мгновенно, а через время t

1, которое определяется индуктивностью катушки и ёмкостью конденсатора из расчётаt 1 = . По истечении времениt 1, когда конденсатор разрядится до нуля, ток в катушке и магнитная энергия будут максимальны. Накопленная катушкой магнитная энергия в этот момент составит. В идеальном рассмотрении, при полном отсутствии потерь в контуре,EC будет равнаEL . Таким образом, электрическая энергия конденсатора перейдёт в магнитную энергию катушки.

Далее изменение (уменьшение от максимума) магнитного потока накопленной энергии катушки будет создавать в ней ЭДС, которая продолжит ток в том же направлении и начнётся процесс заряда конденсатора индукционным током. Уменьшаясь от максимума до нуля в течении времени t

2 =t 1, он перезарядит конденсатор от нулевого до максимального отрицательного значения (-U ). Так магнитная энергия катушки перейдёт в электрическую энергию конденсатора.

Описанные интервалы t

1 иt 2 составят половину периода полного колебания в контуре. Во второй половине процессы аналогичны, только конденсатор будет разряжаться от отрицательного значения, а ток и магнитный поток сменят направление. Магнитная энергия вновь будет накапливаться в катушке в течении времениt 3, сменив полярность полюсов.

В течении заключительного этапа колебания (t

4), накопленная магнитная энергия катушки зарядит конденсатор до первоначального значенияU (в случае отсутствия потерь) и процесс колебания повторится.

В реальности, при наличии потерь энергии на активном сопротивлении проводников, фазовых и магнитных потерь, колебания будут затухающими по амплитуде. Время t

1 +t 2 +t 3 +t 4 составит период колебаний . Частота свободных колебаний контура ƒ = 1 /T Частота свободных колебаний является частотой резонанса контура, на которой реактивное сопротивление индуктивности XL=2πfL

равно реактивному сопротивлению ёмкостиXC=1/(2πfC) .

Расчёт частоты резонанса LC-контура:

Предлагается простой онлайн-калькулятор для расчёта резонансной частоты колебательного контура.

Необходимо вписать значения и кликнуть мышкой в таблице. При переключении множителей автоматически происходит пересчёт результата.

Наверх

Расчёт индуктивности:

Похожие страницы с расчётами:

Рассчитать импеданс.

Рассчитать реактивное сопротивление.

Рассчитать реактивную мощность и компенсацию.

Как связать параметры контура?

Теперь мы вплотную подошли к физике работы колебательного контура. Со временем заряд на обкладках конденсатора изменяется согласно дифференциальному уравнению второго порядка.

Если решить это уравнение, из него следует несколько интересных формул, описывающих процессы, протекающие в контуре. Например, циклическую частоту можно выразить через ёмкость и индуктивность.

Однако наиболее простая формула, которая позволяет вычислить многие неизвестные величины, — формула Томсона (названа в честь английского физика Уильяма Томсона, который вывел её в 1853 году):

T = 2*п*(L*C)1/2.T — период электромагнитных колебаний, L и C — соответственно, индуктивность катушки колебательного контура и ёмкость элементов контура, п — число пи.

Похожие записи:

Radiohata.ru — портал радиолюбителя Что такое пусковой ток двигателя? Расчет заземления Cветодиодный (led) диммер 220в Чем отличается фара ксенона от галогена в 2020 году Частоты сольфеджио: что это такое и как их использовать?