Разница между среднеквадратичным и средним значением

Как написать коэффициент в экселе

Одним из основных статистических показателей последовательности чисел является коэффициент вариации. Для его нахождения производятся довольно сложные расчеты. Инструменты Microsoft Excel позволяют значительно облегчить их для пользователя.

Вычисление коэффициента вариации

Этот показатель представляет собой отношение стандартного отклонения к среднему арифметическому. Полученный результат выражается в процентах.

В Экселе не существует отдельно функции для вычисления этого показателя, но имеются формулы для расчета стандартного отклонения и среднего арифметического ряда чисел, а именно они используются для нахождения коэффициента вариации.

Шаг 1: расчет стандартного отклонения

Стандартное отклонение, или, как его называют по-другому, среднеквадратичное отклонение, представляет собой квадратный корень из дисперсии.

Для расчета стандартного отклонения используется функция СТАНДОТКЛОН.

Начиная с версии Excel 2010 она разделена, в зависимости от того, по генеральной совокупности происходит вычисление или по выборке, на два отдельных варианта: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В.

Синтаксис данных функций выглядит соответствующим образом:

= СТАНДОТКЛОН(Число1;Число2;…) = СТАНДОТКЛОН.Г(Число1;Число2;…)

= СТАНДОТКЛОН.В(Число1;Число2;…)

  1. Для того, чтобы рассчитать стандартное отклонение, выделяем любую свободную ячейку на листе, которая удобна вам для того, чтобы выводить в неё результаты расчетов. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию». Она имеет внешний вид пиктограммы и расположена слева от строки формул.

Выполняется активация Мастера функций, который запускается в виде отдельного окна с перечнем аргументов. Переходим в категорию «Статистические» или «Полный алфавитный перечень». Выбираем наименование «СТАНДОТКЛОН.Г» или «СТАНДОТКЛОН.В», в зависимости от того, по генеральной совокупности или по выборке следует произвести расчет. Жмем на кнопку «OK».

Открывается окно аргументов данной функции. Оно может иметь от 1 до 255 полей, в которых могут содержаться, как конкретные числа, так и ссылки на ячейки или диапазоны. Ставим курсор в поле «Число1».

Мышью выделяем на листе тот диапазон значений, который нужно обработать. Если таких областей несколько и они не смежные между собой, то координаты следующей указываем в поле «Число2» и т.д.

Когда все нужные данные введены, жмем на кнопку «OK»

В предварительно выделенной ячейке отображается итог расчета выбранного вида стандартного отклонения.

Шаг 2: расчет среднего арифметического

Среднее арифметическое является отношением общей суммы всех значений числового ряда к их количеству. Для расчета этого показателя тоже существует отдельная функция – СРЗНАЧ. Вычислим её значение на конкретном примере.

  1. Выделяем на листе ячейку для вывода результата. Жмем на уже знакомую нам кнопку «Вставить функцию».

В статистической категории Мастера функций ищем наименование «СРЗНАЧ». После его выделения жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов СРЗНАЧ. Аргументы полностью идентичны тем, что и у операторов группы СТАНДОТКЛОН. То есть, в их качестве могут выступать как отдельные числовые величины, так и ссылки.

После того, как их координаты были занесены в поле окна аргументов, жмем на кнопку «OK».

Результат вычисления среднего арифметического выводится в ту ячейку, которая была выделена перед открытием Мастера функций.

Шаг 3: нахождение коэффициента вариации

Теперь у нас имеются все необходимые данные для того, чтобы непосредственно рассчитать сам коэффициент вариации.

  1. Выделяем ячейку, в которую будет выводиться результат. Прежде всего, нужно учесть, что коэффициент вариации является процентным значением. В связи с этим следует поменять формат ячейки на соответствующий.

Это можно сделать после её выделения, находясь во вкладке «». Кликаем по полю формата на ленте в блоке инструментов «Число». Из раскрывшегося списка вариантов выбираем «Процентный».

После этих действий формат у элемента будет соответствующий.

Снова возвращаемся к ячейке для вывода результата. Активируем её двойным щелчком левой кнопки мыши. Ставим в ней знак «=». Выделяем элемент, в котором расположен итог вычисления стандартного отклонения.

Кликаем по кнопке «разделить» (/) на клавиатуре. Далее выделяем ячейку, в которой располагается среднее арифметическое заданного числового ряда.

Обновленное уравнение контура

Многие из выведенных уравнений относятся к переменному току. Если нам нужно получить усредненный по времени результат, то соответствующие переменные выражаются в СКЗ. К примеру, закон Ома передается как

Различные выражения для мощности переменного тока выглядят как:

Отсюда видно, что можно вывести среднюю мощность, основываясь на пиковом напряжении и токе.

Мощность переменного тока, основываясь на времени. Напряжение и ток пребывают в фазе, а их продукт колеблется между нулем и IV. Средняя мощность – (1/2) IV

СКЗ полезны, если напряжение меняется по форме сигнала, отличающегося от синусоидов (квадратные, треугольные или пилообразные волны).

Синусоидальные, квадратные, треугольные и пилообразные волны

В зарубежной терминологии применяется аббревиатура RMS (rms) – root mean square. В математике для набора чисел x1, x2, . xn количеством n среднеквадратичное значение (rms) определяется выражением:

Например, для чисел 2,3 и 6 среднеквадратичным значением будет квадратный корень из (2²+3²+6²)/3. √(49/3) = 4.04

Среднеквадратичным значением двух или нескольких чисел является квадратный корень из среднеарифметического значения квадратов этих чисел.

Для любой непрерывной функции в интервале T1T2 среднеквадратичное значение можно рассчитать по формуле:

Среднеквадратичное значение применяется в расчётах, где существует пропорциональная зависимость не самих переменных значений, а их квадратов.

Расчет среднего и среднеквадратичного значений тока/напряжения

. . Вот здесь есть расширенный и углубленный вариант данной заметки . .

Будучи в очень недавнем прошлом яростным разработчиком всевозможных импульсных источников питания, интересовался всяким по данной теме. В частности – вычислением среднего (AVG, Average) и среднеквадратичного (действующего, эффективного, RMS) значений напряжений и (особенно) токов, живущих в разрабатываемом источнике. Для тех, кто не помнит/не знает – напомню определение среднеквадратичного значения тока/напряжения из Википедии:

Действующим (эффективным) значением силы переменного тока называют величину постоянного тока, действие которого произведёт такую же работу (тепловой или электродинамический эффект), что и рассматриваемый переменный ток за время одного периода. В современной литературе чаще используется математическое определение этой величины — среднеквадратичное значение силы переменного тока

Посему, хочешь узнать статические потери на ключе флайбэка – будь добр посчитать среднеквадратичное значение тока первички. Надо узнать мощность токосчитывающего резистора – туда же. И про выпрямители во вторичной цепи – та же песня. Даже потери (и приблизительный нагрев) в обмотках трансов и дросселей для хиленьких источников и невысоких частот преобразования в первом приближении можно посчитать при помощи среднеквадратичного значения тока, через эти обмотки протекающего.

Или, например, делаем могучий источник с высоким КПД. Чтобы оптимально спроектировать обмотку магнитного элемента требуются уже среднее значение тока и среднеквадратичное значение переменной составляющей

В общем – куда ни плюнь, везде фигурируют RMS и AVG (среднее значение, а не антивирус, это важно). Поэтому было принято решение сделать себе некий инструмент, упрощающий жизнь разработчика импульсных источников питания

Вот этим инструментом я и хочу поделиться с общественностью – вдруг кому пригодится.

Как нетрудно заметить, данный инструмент («программа») представляет собой обычный Экселовский файл, поскольку в «компьютерном» программировании я вообще ничего не понимаю. В задачу рассматриваемой «программы» входит отрисовка формы трапецеидального сигнала с заданными параметрами (рисуется один период) и отрисовка формы переменной составляющей заданного сигнала. Также «программа» умеет вычислять среднее и среднеквадратичное значения заданного сигнала и RMS-значение его переменной составляющей. Исходные данные вводятся слева в ячейки, выделенные зеленым цветом (на рисунке обведены красным). Рассчитанные значения AVG и RMS, а также среднеквадратичное значение переменной составляющей заданного сигнала отображаются в правой стороне экрана (обведены синим). Ну а картинки рисуются в нижней части экрана: слева – исходный сигнал, справа – его переменная составляющая.

В нагрузку к «программе» идет короткая заметка, в которой выводятся (а не берутся невесть откуда) расчетные формулы для основных форм сигналов в импульсных источниках питания (трапеции, прямоугольника, треугольника, пилы). Также в этой короткой заметке рассмотрен пример расчета AVG и RMS значений сложного сигнала.

Почему в качестве основы взята именно трапеция? Потому, что из нее легко получить все основные формы сигналов, встречающихся в импульсных источниках питания, а именно – прямоугольник

А уж на основе этих базовых сигналов можно сляпать и пилу

и даже то, что творится на вторичке пушпула:

И еще много чего. Пример же расчета среднего и среднеквадратичных значений для сложных (т.е., составленных из простейших) сигналов, повторюсь, есть в короткой заметке-нагрузке. Хотя, если кого-то заинтересует данный аспект, могу впоследствие осветить его и в этом топике.

Вот, в принципе, и всё описание представленной «программы». Желаю удачи при проектировании и изготовлении импульсных (и не только) источников питания!

Действующее значение переменного синусоидального тока[править]

Если все положительные и отрицательные мгновенные значения переменного синусоидального тока сложить, то их сумма будет равна нулю. Но если алгебраическая сумма всех мгновенных значений за период равна нулю, то и среднее значение этого тока за период также равно нулю: .Среднее значение синусоидального тока за период не может служить для измерения этого тока. Чтобы судить о величине переменного синусоидального тока, переменный ток сравнивают с постоянным током по их тепловому действию.Два тока, один из которых синусоидальный, а другой постоянный, эквивалентны по тепловому действию, если они, протекая по одинаковым сопротивлениям, за одинаковые отрезки времени выделяют одинаковое количество тепла.Действующее значение переменного синусоидального тока численно равно току постоянному, эквивалентному данному синусоидальному току, то есть выделяющему порознь с ним в одинаковом сопротивлении за одинаковый отрезок времени одинаковое количество тепла. Найдено экспериментально, а затем подтверждено теоретически, что величина действующего значения переменного синусоидального тока находится в строго определённой зависимости от амплитуды этого тока: , то есть действующее значение переменного синусоидального тока в раз меньше амплитуды этого тока.

Амперметр электромагнитной или электродинамической системы, включенный в цепь переменного синусоидального тока, показывает действующее значение тока.

Аналогично действующему значению переменного синусоидального тока можно говорить о действующем значении переменной синусоидальной электродвижущей силы или переменного синусоидального напряжения.Действующее значение напряжения в меньше его амплитуды: или .

Вольтметр электромагнитной или электродинамической системы, включенный в сеть переменного синусоидального тока, показывает действующее значение синусоидального напряжения.Например, в электрической розетке электрическое напряжение , так это действующее значение, амплитудное напряжение будет Вольт.

Данные формулы справедливы только для синусоидального тока, если импульсы будут треугольной, пилообразной, прямоугольной или иной формы — требуется другая методика вычисления.

Методом математического анализа можно определить среднее значение переменного синусоидального тока за половину периода, например за положительную полуволну синусоиды.

Среднее значение переменного синусоидального тока за половину периода равно

Также можно определить отношение действующего значения тока к среднему за половину периода (положительную полуволну). Это отношение для синусоидального тока равно:

В распространенных формах волны

Синусоидальные , квадратные , треугольные и пилообразные формы сигналов. В каждом из них центральная линия находится на 0, положительный пик — на, а отрицательный — наузнак равноА1{\ displaystyle y = A_ {1}}узнак равно-А1{\ displaystyle y = -A_ {1}}
Прямоугольная импульсная волна с коэффициентом заполнения D, соотношением длительности импульса ( ) и периода (T); проиллюстрировано здесь с a = 1.τ{\ Displaystyle \ тау}

График зависимости напряжения синусоидальной волны от времени (в градусах), показывающий среднеквадратичное, пиковое (PK) и размах напряжения (PP).

Если форма волны представляет собой чистую синусоидальную волну , отношения между амплитудами (размах, пик) и среднеквадратичным значением фиксированы и известны, как и для любой непрерывной периодической волны. Однако это неверно для сигнала произвольной формы, который не может быть периодическим или непрерывным. Для синусоидальной волны с нулевым средним соотношение между среднеквадратичным значением и размахом амплитуды составляет:

От пика до пика знак равно22×RMS≈2,8×RMS.{\ displaystyle = 2 {\ sqrt {2}} \ times {\ text {RMS}} \ примерно 2,8 \ times {\ text {RMS}}.}

Для других сигналов отношения не такие же, как для синусоидальных волн. Например, для треугольной или пилообразной волны

От пика до пика знак равно23×RMS≈3.5×RMS.{\ displaystyle = 2 {\ sqrt {3}} \ times {\ text {RMS}} \ примерно 3,5 \ times {\ text {RMS}}.}
Форма волны Переменные и операторы RMS
ОКРУГ КОЛУМБИЯ узнак равноА{\ displaystyle y = A_ {0} \,} А{\ displaystyle A_ {0} \,}
Синусоидальная волна узнак равноА1грех⁡(2πжт){\ Displaystyle у = А_ {1} \ грех (2 \ пи футов) \,} А12{\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {\ sqrt {2}}}}
Квадратная волна узнак равно{А1гидроразрыв⁡(жт)<0,5-А1гидроразрыв⁡(жт)>0,5{\ displaystyle y = {\ begin {cases} A_ {1} & \ operatorname {frac} (ft) <0,5 \\ — A_ {1} & \ operatorname {frac} (ft)> 0,5 \ end {cases}} } А1{\ Displaystyle A_ {1} \,}
Прямоугольная волна со смещением постоянного тока узнак равноА+{А1гидроразрыв⁡(жт)<0,5-А1гидроразрыв⁡(жт)>0,5{\ displaystyle y = A_ {0} + {\ begin {cases} A_ {1} & \ operatorname {frac} (ft) <0,5 \\ — A_ {1} & \ operatorname {frac} (ft)> 0,5 \ конец {case}}} А2+А12{\ displaystyle {\ sqrt {A_ {0} ^ {2} + A_ {1} ^ {2}}} \,}
узнак равно{гидроразрыв⁡(жт)<0,25А10,25<гидроразрыв⁡(жт)<0,50,5<гидроразрыв⁡(жт)<0,75-А1гидроразрыв⁡(жт)>0,75{\ displaystyle y = {\ begin {cases} 0 & \ operatorname {frac} (ft) <0,25 \\ A_ {1} & 0,25 <\ operatorname {frac} (ft) <0,5 \\ 0 & 0,5 <\ operatorname {frac} (футы) <0,75 \\ — A_ {1} & \ operatorname {frac} (футы)> 0,75 \ end {case}}} А12{\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {\ sqrt {2}}}}
Треугольник волна узнак равно|2А1гидроразрыв⁡(жт)-А1|{\ displaystyle y = \ left | 2A_ {1} \ operatorname {frac} (ft) -A_ {1} \ right |} А13{\ displaystyle A_ {1} \ over {\ sqrt {3}}}
Пилообразная волна узнак равно2А1гидроразрыв⁡(жт)-А1{\ displaystyle y = 2A_ {1} \ operatorname {frac} (ft) -A_ {1} \,} А13{\ displaystyle A_ {1} \ over {\ sqrt {3}}}
Пульсовая волна узнак равно{А1гидроразрыв⁡(жт)<Dгидроразрыв⁡(жт)>D{\ displaystyle y = {\ begin {cases} A_ {1} & \ operatorname {frac} (ft) <D \\ 0 & \ operatorname {frac} (ft)> D \ end {cases}}} А1D{\ displaystyle A_ {1} {\ sqrt {D}}}
Междуфазное напряжение узнак равноА1грех⁡(т)-А1грех⁡(т-2π3){\ displaystyle y = A_ {1} \ sin (t) -A_ {1} \ sin \ left (t — {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right) \,} А132{\ displaystyle A_ {1} {\ sqrt {\ frac {3} {2}}}}
куда:
y — смещение,
т время,
f — частота,
A i — амплитуда (пиковое значение),
D — рабочий цикл или доля периода времени (1 / f ), проведенного на высоком уровне,
гидроразрыва ( г ) является дробной частью из г .

В комбинациях сигналов

Формы сигналов, полученные путем суммирования известных простых сигналов, имеют среднеквадратичное значение, которое является корнем из суммы квадратов значений компонентных среднеквадратичных значений, если формы сигналов компонентов ортогональны (то есть, если среднее значение произведения одного простого сигнала на другой равно нулю. для всех пар, кроме самого времени сигнала).

RMSВсегознак равноRMS12+RMS22+⋯+RMSп2{\ displaystyle {\ text {RMS}} _ {\ text {Total}} = {\ sqrt {{\ text {RMS}} _ {1} ^ {2} + {\ text {RMS}} _ {2} ^ {2} + \ cdots + {\ text {RMS}} _ {n} ^ {2}}}}

В качестве альтернативы, для сигналов, которые полностью положительно коррелированы или «синфазны» друг с другом, их среднеквадратичные значения суммируются напрямую.

Использует

Обычно RMSD используется как количественная мера сходства между двумя или более белковыми структурами. Например, соревнование по предсказанию структуры белка CASP использует RMSD как одну из оценок того, насколько хорошо представленная структура соответствует известной целевой структуре. Таким образом, чем ниже RMSD, тем лучше модель по сравнению с целевой структурой.

Также некоторые ученые, изучающие сворачивание белка с помощью компьютерного моделирования, используют RMSD в качестве координаты реакции, чтобы количественно определить, где находится белок между свернутым и развернутым состояниями.

Изучение RMSD для небольших органических молекул (обычно называемых лигандами, когда они связываются с макромолекулами, такими как белки) широко используется в контексте стыковки , а также в других методах изучения конфигурации лигандов при связывании с ними. макромолекулы

Обратите внимание, что в случае лигандов (в отличие от белков, как описано выше) их структуры обычно не накладываются друг на друга до расчета RMSD.

RMSD также является одним из нескольких показателей, которые были предложены для количественной оценки эволюционного сходства между белками, а также качества выравнивания последовательностей.

Среднеквадратичное значение напряжения

Итак, что же у нас получилось? Как и постоянное напряжение, так и переменное напряжение  зажигали одну и ту же лампочку, которая кушала одну и ту же мощность.  Значит эта осциллограмма

и вот эта осциллограмма

Чем то похожи? Но чем??? 

Среднеквадратичное значение напряжения – это такое  значение переменного напряжения, при котором нагрузка потребляет столько же силы тока, как и при постоянном напряжении.  То есть лампочка у нас потребляла 1,71 Ампер и при постоянном токе и при переменном.  То есть, в двух этих случаях, мощность, которую потребляла лампочка, была одинакова.

Также среднеквадратичное напряжение еще называют действующим или эффективным значением напряжения. С помощью несложных умозаключений, инженеры-электрики пришли к выводу действующее (оно же среднеквадратичное) напряжение синусоидального сигнала  любой частоты равняется максимальной его амплитуде, поделенной  на корень из двух

Стоп! Мы ведь не разобрали, что такое максимальная амплитуда! На осциллограмме максимальная амплитуда выглядит примерно вот так:

Если даже посчитать по клеточкам и посмотреть, чему равняется одна клеточка по вертикали (смотрим внизу слева, она равняется 5 Вольт), то Umax = 17 Вольт. Делим это значение на корень из двух. Я беру это значение как 1,41. Получаем, что среднеквадратичное значение равняется 17/1,41=12,06 Вольт. Ну что, все верно 😉

Значит, когда нам говорят, что напряжение в розетке равняется 220 Вольт, то мы то знаем, что на самом деле это среднеквадратичное напряжение.  Максимальная амплитуда этих  220 Вольт равняется 220х1,41=310 Вольт.

Где же  среднеквадратичное напряжение и максимальная амплитуда сигнала прячутся на табличке измерений? Да вот  же они!

Vk – это и есть среднеквадратичное напряжение этого сигнала.

Ma – это  и есть Umax.

Конечно, 16,6/1,41=11,8  Вольт, а он пишет 12,08 Вольт.

Распространенные формы волны [ править ]

Синусоидальная , квадратная , треугольная и пилообразная формы сигналов.

Прямоугольная импульсная волна с коэффициентом заполнения D, соотношением длительности импульса ( ) и периода (T); показано здесь с a = 1.τ{\ Displaystyle \ тау}

График зависимости напряжения синусоидальной волны от времени (в градусах), показывающий среднеквадратичное, пиковое (PK) и размах напряжения (PP).

Если форма волны является чистой синусоидальной волной , отношения между амплитудами (размах, пик) и среднеквадратичным значением фиксированы и известны, как и для любой непрерывной периодической волны. Однако это неверно для сигнала произвольной формы, который не может быть периодическим или непрерывным. Для синусоиды с нулевым средним соотношение между среднеквадратичным значением и размахом амплитуды составляет:

От пика до пика знак равно22×RMS≈2,8×RMS.{\displaystyle =2{\sqrt {2}}\times {\text{RMS}}\approx 2.8\times {\text{RMS}}.}

Для других сигналов отношения не такие же, как для синусоидальных волн. Например, для треугольной или пилообразной волны

От пика до пика =23×RMS≈3.5×RMS.{\displaystyle =2{\sqrt {3}}\times {\text{RMS}}\approx 3.5\times {\text{RMS}}.}
Форма волны Переменные и операторы RMS
ОКРУГ КОЛУМБИЯ y=A{\displaystyle y=A_{0}\,} A{\displaystyle A_{0}\,}
Синусоидальная волна y=A1sin⁡(2πft){\displaystyle y=A_{1}\sin(2\pi ft)\,} A12{\displaystyle {\frac {A_{1}}{\sqrt {2}}}}
Квадратная волна y={A1frac⁡(ft)<0.5−A1frac⁡(ft)>0.5{\displaystyle y={\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<0.5\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.5\end{cases}}} A1{\displaystyle A_{1}\,}
Прямоугольная волна со смещением постоянного тока y=A+{A1frac⁡(ft)<0.5−A1frac⁡(ft)>0.5{\displaystyle y=A_{0}+{\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<0.5\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.5\end{cases}}} A2+A12{\displaystyle {\sqrt {A_{0}^{2}+A_{1}^{2}}}\,}
Модифицированная синусоида y={frac⁡(ft)<0.25A10.25<frac⁡(ft)<0.50.5<frac⁡(ft)<0.75−A1frac⁡(ft)>0.75{\displaystyle y={\begin{cases}0&\operatorname {frac} (ft)<0.25\\A_{1}&0.25<\operatorname {frac} (ft)<0.5\\0&0.5<\operatorname {frac} (ft)<0.75\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.75\end{cases}}} A12{\displaystyle {\frac {A_{1}}{\sqrt {2}}}}
Треугольная волна y=|2A1frac⁡(ft)−A1|{\displaystyle y=\left|2A_{1}\operatorname {frac} (ft)-A_{1}\right|} A13{\displaystyle A_{1} \over {\sqrt {3}}}
Пилообразная волна y=2A1frac⁡(ft)−A1{\displaystyle y=2A_{1}\operatorname {frac} (ft)-A_{1}\,} A13{\displaystyle A_{1} \over {\sqrt {3}}}
Пульсовая волна y={A1frac⁡(ft)<Dfrac⁡(ft)>D{\displaystyle y={\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<D\\0&\operatorname {frac} (ft)>D\end{cases}}} A1D{\displaystyle A_{1}{\sqrt {D}}}
Междуфазное напряжение y=A1sin⁡(t)−A1sin⁡(t−2π3){\displaystyle y=A_{1}\sin(t)-A_{1}\sin \left(t-{\frac {2\pi }{3}}\right)\,} A132{\displaystyle A_{1}{\sqrt {\frac {3}{2}}}}
куда:
y — смещение,
т время,
f — частота,
A i — амплитуда (пиковое значение),
D — рабочий цикл или доля периода времени (1 / f ), который был проведен на высоком уровне,
гидроразрыва ( г ) является дробной частью из г .

В комбинациях сигналов

Формы сигналов, полученные путем суммирования известных простых сигналов, имеют среднеквадратичное значение, которое является корнем из суммы квадратов значений компонентных среднеквадратичных значений, если формы сигналов компонентов ортогональны (то есть, если среднее значение произведения одного простого сигнала на другой равно нулю. для всех пар, кроме самого времени сигнала).

RMSTotal=RMS12+RMS22+⋯+RMSn2{\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{Total}}={\sqrt {{\text{RMS}}_{1}^{2}+{\text{RMS}}_{2}^{2}+\cdots +{\text{RMS}}_{n}^{2}}}}

В качестве альтернативы, для сигналов, которые полностью положительно коррелированы или «синфазны» друг с другом, их среднеквадратичные значения суммируются напрямую.

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины A равна (нулю).

D(A) = 0

Свойство 2. Если случайную величину умножить на постоянную А, то дисперсия этой случайной величины увеличится в А2 раз. Другими словами, постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

D(AX) = А2 D(X)

Свойство 3. Если к случайной величине добавить (или отнять) постоянную А, то дисперсия останется неизменной.

D(A + X) = D(X)

Свойство 4. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

D(X+Y) = D(X) + D(Y)

Свойство 5. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их разницы также равна сумме дисперсий.

D(X-Y) = D(X) + D(Y)

Как работает стандартное отклонение в Excel

      Добрый день!

     В статье я решил рассмотреть, как работает стандартное отклонение в Excel с помощью функции СТАНДОТКЛОН. Я просто очень давно не описывал и не комментировал статистические функции, а еще просто потому что это очень полезная функция для тех, кто изучает высшую математику.

А оказать помощь студентам – это святое, по себе знаю, как трудно она осваивается.

В реальности функции стандартных отклонений можно использовать для определения стабильности продаваемой продукции, создания цены, корректировки или формирования ассортимента, ну и других не менее полезных анализов ваших продаж.

В Excel используются несколько вариантов этой функции отклонения:

  • Функция СТАНДОТКЛОНА – вычисляется отклонение по выборке текстовых и логических значений. При этом ложные логические и текстовые значения формула приравнивает к 0, а 1 будут равняться только истинные логические значения;
  • Функция СТАНДОТКЛОН.В – производит оценку стандартного отклонения по выборке, при этом текстовые и логические значения игнорирует;
  • Функция СТАНДОТКЛОН.Г – делает оценку отклонения по некой генеральной совокупности и как в предыдущей функции игнорируются текстовые и логические значения;
  • Функция СТАНДОТКЛОНПА – также вычисляет по генеральной совокупности стандартное отклонение, но с учетом текстовых и логических значений. Равняться 1 будут только истинные логические значения, а ложные логические и текстовые значения будут приравнены к 0.

Математическая теория

      Для начала немножко о теории, как математическим языком можно описать функцию стандартного отклонения для применения ее в Excel, для анализа, к примеру, данных статистики продаж, но об этом дальше. Предупреждаю сразу, буду писать очень много непонятных слов… )))), если что ниже по тексту смотрите сразу практическое применение в программе.

     Что же собственно делает стандартное отклонение? Оно производит оценку среднеквадратического отклонения случайной величины Х относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии. Согласитесь, звучит запутанно, но я думаю учащиеся поймут о чём собственно идет речь!

     Теперь можно дать определение и стандартному отклонению – это анализ среднеквадратического отклонения случайной величины Х сравнительно её математической перспективы на основе несмещённой оценки её дисперсии. Формула записывается так:      Отмечу, что все две оценки предоставляются смещёнными. При общих случаях построить несмещённую оценку не является возможным. Но оценка на основе оценки несмещённой дисперсии будет состоятельной.

Практическое воплощение в Excel

     Ну а теперь отойдём от скучной теории и на практике посмотрим, как работает функция СТАНДОТКЛОН. Я не буду рассматривать все вариации функции стандартного отклонения в Excel, достаточно и одной, но в примерах. А для примера рассмотрим, как определяется статистика стабильности продаж.

      Для начала посмотрите на орфографию функции, а она как вы видите, очень проста:

        =СТАНДОТКЛОН.Г(_число1_;_число2_; ….), где:

Число1, число2, … — являют собой генеральную совокупность значений и имеют только числовые значения или же ссылки на них. Формула поддерживает до 255 числовых значений.

      Теперь создадим файл примера и на его основе рассмотрим работу этой функции.

     Так как для проведения аналитических вычислений необходимо использовать не меньше трёх значений, как в принципе в любом статистическом анализе, то и я взял условно 3 периода, это может быть год, квартал, месяц или неделя. В моем случае – месяц.

Для наибольшей достоверности рекомендую брать как можно большое количество периодов, но никак не менее трёх. Все данные в таблице очень простые для наглядности работы и функциональности формулы.

    Для начала нам необходимо посчитать среднее значение по месяцам. Будем использовать для этого функцию СРЗНАЧ и получится формула: =СРЗНАЧ(C4:E4).       Теперь собственно мы и можем найти стандартное отклонение с помощью функции СТАНДОТКЛОН.Г в значении которой нужно проставить продажи товара каждого периода.

Получится формула следующего вида: =СТАНДОТКЛОН.Г(C4;D4;E4).      Ну вот и сделана половина дел. Следующим шагом мы формируем «Вариацию», это получается делением на среднее значение, стандартного отклонения и результат переводим в проценты.

Получаем такую таблицу:        Ну вот основные расчёты окончены, осталось разобраться как идут продажи стабильно или нет. Возьмем как условие что отклонения в 10% это считается стабильно, от 10 до 25% это небольшие отклонения, а вот всё что выше 25% это уже не стабильно.

Для получения результата по условиям воспользуемся логической функцией ЕСЛИ и для получения результата напишем формулу:

                =ЕСЛИ(H4

Представление определения

Действующее значение переменной, которое изменяется во времени, определяется как постоянное значение, которое передает одну и ту же мощность (тепло за промежуток времени) на омический резистор в среднем с течением времени.

В случае с обозначениями вещественных величин, мощность является эквивалентом для мгновенных значений мощности
П.{\ displaystyle P} п{\ displaystyle p}

Напряжение переменного тока , сила тока и мощность как синусоидальные величины на омическом резистореты{\ displaystyle u}я{\ displaystyle i}п{\ displaystyle p}

П.знак равноп¯знак равноты⋅я¯знак равно1Т∫тт+Тты⋅яdт{\ displaystyle P = {\ overline {p}} = {\ overline {u \ cdot i \,}} = {\ frac {1} {T}} \ int \ limits _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} и \ cdot i \, \ mathrm {d} t}

Где и — мгновенные значения напряжения и тока. В случае периодических процессов размер — это длительность периода или, в случае статистических процессов, достаточно длительное время (математически строго для ). В случае периодических процессов время начала не включается в результат; он может быть выбран в соответствии с удобством расчета и часто устанавливается равным нулю.
ты{\ displaystyle u}я{\ displaystyle i}Т{\ displaystyle T}Т→∞{\ displaystyle T \ to \ infty}т{\ displaystyle t_ {0}}

Мощность связана с постоянным напряжением и связанным с ним постоянным током . Тогда результат с законом Ома , а такжеU-{\ displaystyle U _ {-}}Я.-{\ displaystyle I _ {-}}П.-{\ displaystyle P _ {-}}  U-знак равноР.⋅Я.-{\ Displaystyle U _ {-} = R \ cdot I _ {-}}тызнак равноР.⋅я{\ displaystyle u = R \ cdot i}

П.-знак равноU-⋅Я.-знак равно(U-)2Р.{\ Displaystyle P _ {-} = U _ {-} \ cdot I _ {-} = {\ frac {(U _ {-}) ^ {2}} {R}}}
П.знак равноты⋅я¯знак равно1Т∫тт+Тты2Р.dт{\ displaystyle P = {\ overline {u \ cdot i \,}} = {\ frac {1} {T}} \ int \ limits _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} {\ гидроразрыв {u ^ {2}} {R}} \, \ mathrm {d} t}

После уравнивания , уменьшения постоянных и извлечения корня эффективное значение получается в виде уравненияП.-знак равноП.{\ Displaystyle P _ {-} = P}Р.{\ displaystyle R}

Uежжзнак равноU-знак равно1Т∫тт+Тты2dтзнак равноты2¯{\ displaystyle U _ {\ mathrm {eff}} = U _ {-} = {\ sqrt {{\ frac {1} {T}} \ int \ limits _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} u ^ {2} \ mathrm {d} t}} = {\ sqrt {\; {\ overline {u ^ {2}}} \;}}}

Последнее обозначение поясняет эмпирическое правило, содержащееся в английском термине «root mean square»: корень среднего значения квадрата.

Соответствующие уравнения применяются для действующего значения силы тока и, как правило, для любой другой переменной, кроме стационарной.

Если ход сигнала не может быть задан как функция, можно использовать метод аппроксимации с выборочными мгновенными значениями для вычисления эффективного значения. Со значениями, записанными за период, чтобы получить
ты{\ displaystyle u}Т{\ displaystyle T}п{\ displaystyle n}Тзнак равно∑язнак равно1пΔтя{\ displaystyle T = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ Delta t_ {i}}

Uежж≈1Т∑язнак равно1птыя2Δтязнак равно1Т(ты12Δт1+ты22Δт2+ты32Δт3+⋯+тып2Δтп){\ Displaystyle U _ {\ mathrm {eff}} \ приблизительно {\ sqrt {{\ frac {1} {T}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} ^ {2} \ Delta t_ {i}}} = {\ sqrt {{\ frac {1} {T}} \ left (u_ {1} ^ {2} \ Delta t_ {1} + u_ {2} ^ {2} \ Delta t_ {2} + u_ {3} ^ {2} \ Delta t_ {3} + \ dotsb + u_ {n} ^ {2} \ Delta t_ {n} \ right)}}}

где — это выборки или мгновенные значения, считываемые с интервалами в течение периода .
тыя{\ displaystyle u_ {i}}Δтя{\ displaystyle \ Delta t_ {i}}Т{\ displaystyle T}

С постоянными интервалами это упрощает и
Δт{\ displaystyle \ Delta t}Тзнак равноп⋅Δт{\ Displaystyle Т = п \ cdot \ Delta t}

Uежж≈1п∑язнак равно1птыя2знак равно1п(ты12+ты22+ты32+⋯+тып2){\ displaystyle U _ {\ mathrm {eff}} \ приблизительно {\ sqrt {{\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {1} {n}} \ left (u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} + u_ {3} ^ {2} + \ dotsb + u_ { п} ^ {2} \ right)}}}

Интерпретация

Значение MSE, равное нулю, означающее, что оценщик предсказывает наблюдения параметра с идеальной точностью, является идеальным (но обычно невозможно).
θ^{\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}θ{\ displaystyle \ theta}

Значения MSE могут использоваться для сравнительных целей. Две или более статистических моделей можно сравнить с использованием их MSE — в качестве меры того, насколько хорошо они объясняют данный набор наблюдений: несмещенная оценка (оцененная на основе статистической модели) с наименьшей дисперсией среди всех несмещенных оценок является лучшей несмещенной оценкой или MVUE (Несмещенная оценка минимальной дисперсии).

Как анализ дисперсии, так и методы линейной регрессии оценивают MSE как часть анализа и используют оцененную MSE для определения статистической значимости изучаемых факторов или предикторов. Цель экспериментального плана состоит в том, чтобы построить эксперименты таким образом, чтобы при анализе наблюдений MSE была близка к нулю относительно величины по крайней мере одного из оцененных эффектов лечения.

При одностороннем дисперсионном анализе MSE можно вычислить путем деления суммы квадратов ошибок и степени свободы. Кроме того, значение f представляет собой отношение среднего квадрата обработки и MSE.

MSE также используется в нескольких методах пошаговой регрессии как часть определения того, сколько предикторов из набора кандидатов включить в модель для данного набора наблюдений.